Εξίσωση Εφαπτομένης:
Έστω f μια συνάρτηση και $A(x_0,f(x_0))$ ένα σημείο της $C_f$ . Αν υπάρχει το $$\lim_{x \to x_0} \frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ.

Παραγωγίσημη σε σημείο:
Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσημη σ΄ένα σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το $$\lim_{x \to x_0} \frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ και είναι πραγματικό αριθμός.
Το όριο αυτό ονομάζεται Παράγωγος της f στο $x_0$ και συμβολίζεται με $f'(x_0)$
Δηλαδή $$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

Ρυθμός μεταβολής:
Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f(x), όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσημη στο $x_0$, τότε ονομάζουμε Ρυθμό μεταβολής του y ως προς το χ στο σημείο $x_0$ την παράγωγο $f'(x_0)$

Rolle:
Αν μία συνάρτηση f είναι:

  • Συνεχής στο κλειστό διάστημα [α.β]
  • Παραγωγίσημη στο ανοιχτό διάστημα (α,β) και
  • f(α) = f(β)
τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, $ξ \in (α, β)$ τέτοιο, ώστε:
f'(ξ)=0

Θ.Μ.Τ
Αν μια συνάρτηση f είναι:

  • συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] και
  • Παραγωγίσημη στο ανοιχτό διάστημα (α,β)
τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, $ξ \in (α,β)$ τέτοιο, ώστε: $$f'(ξ) = \frac {f(β)-f(α)}{β-α}$$

Τοπικό μέγιστο:
Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο $x_0 \in A$ τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ>0, τέτοιο ώστε
$f(x) \leq f(x_0)$ για κάθε $x \in A \cap (x_0 - δ, x_0 + δ)$
Το $x_0$ λέγεται Θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το $f(x_0)$ τοπικό μέγιστο της f

Τοπικό ελάχιστο:
Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο $x_0 \in A$ τοπικό ελάχιστο, όταν υπάρχει δ>0, τέτοιο ώστε
$f(x) \geq f(x_0)$ για κάθε $x \in A \cap (x_0 - δ, x_0 + δ)$
Το $x_0$ λέγεται Θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το $f(x_0)$ τοπικό ελάχιστο της f

Κυρτή:
Έστω μία συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς σ' ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ. Θα λέμε ότι :
Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η f ʹ είναι γνησίως αύξουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ.

Κοίλη
Έστω μία συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς σ' ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ. Θα λέμε ότι :
Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η f ʹ είναι γνησίως φθίνουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ.

Σημείο Καμπής:
Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα (α,β) , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0 . Αν
● η f είναι κυρτή στο (α,x0) και κοίλη στο (x0,β) , ή αντιστρόφως, και
● η Cf έχει εφαπτομένη στο σημείο Α(x0, f(x0)), τότε το σημείο Α(x0, f(x0)) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f.